完整教程：矩阵与行列式

一、行列式1.1 二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组求解对于二元线性方程组：{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2\begin{cases}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2} = b_{2}\end{cases}{a11​x1​+a12​x2​=b1​a21​x1​+a22​x2​=b2​​

通过消元法可推导得：(a11a22−a12a21)x1=b1a22−a12b2\left(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\right) x_{1}=b_{1} a_{22}-a_{12} b_{2}(a11​a22​−a12​a21​)x1​=b1​a22​−a12​b2​(a11a22−a12a21)x2=a11b2−b1a21\left(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\right) x_{2}=a_{11} b_{2}-b_{1} a_{21}(a11​a22​−a12​a21​)x2​=a11​b2​−b1​a21​

当系数项满足a11a22−a12a21≠0\boldsymbol{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0}a11​a22​−a12​a21​=0时，方程组有唯一解：x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a21x_{1}=\frac{b_{1} a_{22}-a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}x1​=a11​a22​−a12​a21​b1​a22​−a12​b2​​x2=a11b2−b1a21a11a22−a12a21x_{2}=\frac{a_{11} b_{2}-b_{1} a_{21}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}x2​=a11​a22​−a12​a21​a11​b2​−b1​a21​​

二阶行列式定义看起来好像有些规律呀

上述方程组中，系数项a11a22−a12a21\boldsymbol{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}a11​a22​−a12​a21​ 称为二阶行列式，记为：D=∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21D=\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}D=​a11​a21​​a12​a22​​​=a11​a22​−a12​a21​

1.2 三阶行列式三阶行列式展开式对于三阶行列式：∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​

其展开式为：a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32\begin{aligned} &a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} \\ -&a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \end{aligned}−​a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​a13​a22​a31​−a12​a21​a33​−a11​a23​a32​​二阶看起来挺容易就算出来了，三阶的呢？

三阶行列式计算示例计算行列式 D=∣12−4−221−34−2∣D=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & 1 \\ -3 & 4 & -2\end{array}\right|D=​1−2−3​224​−41−2​​：D=1×2×(−2)+2×1×(−3)+(−4)×(−2)×4−(−4)×2×(−3)−2×(−2)×(−2)−1×1×4=−4−6+32−24−8−4=−14\begin{aligned} D&=1 \times 2 \times (-2) + 2 \times 1 \times (-3) + (-4) \times (-2) \times 4 - (-4) \times 2 \times (-3) - 2 \times (-2) \times (-2) - 1 \times 1 \times 4 \\ &=-4 - 6 + 32 - 24 - 8 - 4 \\ &=-14 \end{aligned}D​=1×2×(−2)+2×1×(−3)+(−4)×(−2)×4−(−4)×2×(−3)−2×(−2)×(−2)−1×1×4=−4−6+32−24−8−4=−14​

二、矩阵基础矩阵和数据之间的关系。A B C D代表四座城市，它们之间可通行的关系：如果有表格的形式来表示：

2.1 矩阵的定义矩阵是由行和列组成的数表，设mmm 行 nnn 列矩阵 AAA，记为：A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​

其中，aija_{ij}aij​ 表示矩阵第 iii 行第 jjj列的元素；输入的数据即构成矩阵，对数据的处理本质是矩阵操作。

2.2 矩阵与行列式的区别

对比维度行列式矩阵行数与列数行数必须等于列数（n阶）行数可不等于列数（m×n）元素个数n阶行列式有n2n^2n2 个元素m×n矩阵有m×nm×nm×n 个元素本质一个数值一个数表2.3 何为矩阵？输入的数据就是矩阵，对素材做任何的操作都是矩阵的管理了。

2.4 矩阵的组成矩阵是由行和列来组成的：矩阵的特殊形式行向量与列向量：

2.5 特殊矩阵1. 向量（特殊矩阵）行向量：1行n列矩阵，记为(a1a2⋯an)\left(a_{1} \quad a_{2} \quad \cdots \quad a_{n}\right)(a1​a2​⋯an​)列向量：n行1列矩阵，记为(a1a2⋮an)\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right)​a1​a2​⋮an​​​2. 方阵行数与列数相等的矩阵，称为n阶方阵，记为：A=An×n=An=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯an1an2⋯ann)=(aij)n×nA=A_{n \times n}=A_{n}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & & & \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}A=An×n​=An​=​a11​a21​⋯an1​​a12​a22​an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​ann​​​=(aij​)n×n​

3. 三角矩阵上三角矩阵：主对角线以下元素全为0的方阵：(a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮00⋯ann)\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​⋯⋯⋮⋯​a1n​a2n​⋮ann​​​下三角矩阵：主对角线以上元素全为0的方阵：(a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋮⋮an1an2⋯ann)\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)​a11​a21​⋮an1​​0a22​⋮an2​​⋯⋯⋮⋯​00⋮ann​​​4. 对角阵主对角线以外元素全为0的方阵：(λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋮00⋯λn)\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right)​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​​

5. 单位矩阵主对角线元素全为1、其余元素全为0的对角阵，记为III：I=(10⋯001⋯0⋮⋮⋮⋮00⋯1)I=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)I=​10⋮0​01⋮0​⋯⋯⋮⋯​00⋮1​​

2.6 同型矩阵与矩阵相等同型矩阵：两个矩阵的行数和列数分别相等，例如(1234)\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}(13​24​) 与 (5678)\begin{pmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}(57​68​)是同型矩阵（均为2×2矩阵）。矩阵相等：需同时满足两个条件：两矩阵为同型矩阵；对应位置的元素相等，即aij=bij(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n)a_{i j}=b_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)aij​=bij​(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)。三、矩阵的基本运算3.1 矩阵加法设两个 m×nm×nm×n 矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​) 和 B=(bij)B=(b_{ij})B=(bij​)，则它们的和A+BA+BA+B 定义为：A+B=(a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn)A+B=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1}+b_{m 1} & a_{m 2}+b_{m 2} & \cdots & a_{m n}+b_{m n} \end{array}\right)A+B=​a11​+b11​a21​+b21​⋮am1​+bm1​​a12​+b12​a22​+b22​⋮am2​+bm2​​⋯⋯⋯​a1n​+b1n​a2n​+b2n​⋮amn​+bmn​​​

3.2 矩阵数乘设常数 λ\lambdaλ 与 m×nm×nm×n 矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​)，则数乘 λA\lambda AλA（或 AλA\lambdaAλ）定义为：λA=Aλ=(λa11λa12⋯λa1nλa21λa22⋯λa2n⋮⋮⋮λam1λam2⋯λamn)\lambda A=A \lambda=\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m 1} & \lambda a_{m 2} & \cdots & \lambda a_{m n}\end{array}\right)λA=Aλ=​λa11​λa21​⋮λam1​​λa12​λa22​⋮λam2​​⋯⋯⋯​λa1n​λa2n​⋮λamn​​​

3.3 矩阵乘法乘法条件矩阵 AAA（m×km×km×k）与矩阵 BBB（k×nk×nk×n）可乘，且乘积C=ABC=ABC=AB 为 m×nm×nm×n 矩阵（AAA 的列数 = BBB 的行数）。

乘法示例（销售额计算）设两个商场的三种电视机销量矩阵AAA（华润：2行3列），三种电视机单价矩阵BBB（长虹：3行1列）：A=(128101496),B=(2.533.5)A=\left(\begin{array}{ccc}12 & 8 & 10 \\ 14 & 9 & 6\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{c}2.5 \\ 3 \\ 3.5\end{array}\right)A=(1214​89​106​),B=​2.533.5​​

则销售额矩阵C=ABC=ABC=AB 计算如下：C=AB=(128101496)(2.533.5)=(12×2.5+8×3+10×3.514×2.5+9×3+6×3.5)=(8983)\begin{aligned} C &=AB=\left(\begin{array}{ccc} 12 & 8 & 10 \\ 14 & 9 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 2.5 \\ 3 \\ 3.5 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} 12 × 2.5 + 8 × 3 + 10 × 3.5 \\ 14 × 2.5 + 9 × 3 + 6 × 3.5 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{l} 89 \\ 83 \end{array}\right) \end{aligned}C​=AB=(1214​89​106​)​2.533.5​​=(12×2.5+8×3+10×3.514×2.5+9×3+6×3.5​)=(8983​)​

乘法性质无交换律：一般 AB≠BAAB \neq BAAB=BA，例如：A=(−241−2),B=(24−3−6)A=\left(\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ 1 & -2\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -3 & -6\end{array}\right)A=(−21​4−2​),B=(2−3​4−6​)AB=(−16−32816),BA=(0000)AB=\left(\begin{array}{cc}-16 & -32 \\ 8 & 16 \end{array}\right),\quad BA=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)AB=(−168​−3216​),BA=(00​00​)结合律：(AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)(AB)C=A(BC)数乘结合律：λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)λ(AB)=(λA)B=A(λB)分配律：A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB+ACA(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA3.4 矩阵表示线性方程组对于线性方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{cases}⎩⎨⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=bm​​

可表示为矩阵形式AX=b\boldsymbol{AX=b}AX=b，其中：

系数矩阵：A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn)A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋮⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​未知数矩阵：X=(x1⋮xn)X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)X=​x1​⋮xn​​​常数矩阵：b=(b1⋮bm)b=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)b=​b1​⋮bm​​​3.5 矩阵转置转置定义将矩阵 AAA的行与列互换，得到的新矩阵称为AAA的转置，记为ATA^TAT。例如：A=(1203−11),AT=(132−101)A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1\end{pmatrix},\quad A^T=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}A=(13​2−1​01​),AT=​120​3−11​​

转置性质(AT)T=A(A^{T})^{T}=A(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}(A+B)T=AT+BT(λA)T=λAT(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}(λA)T=λAT(AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^{T}A^{T}(AB)T=BTAT（推广：(A1A2⋯An)T=AnT⋯A2TA1T\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)^{T}=A_{n}^{T} \cdots A_{2}^{T} A_{1}^{T}(A1​A2​⋯An​)T=AnT​⋯A2T​A1T​）3.6 对称矩阵若矩阵 AAA 满足 AT=AA^{T}=AAT=A，则 AAA为对称矩阵，其本质是对应元素相等：aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij​=aji​。

示例：(1011−1),(0000),(−32−4207−475)\left(\begin{array}{cc}10 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ccc}-3 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 7 \\ -4 & 7 & 5\end{array}\right)(101​1−1​),(00​00​),​−32−4​207​−475​​

3.7 逆矩阵逆矩阵定义设 AAA为n阶方阵，若存在n阶方阵BBB，使得 AB=BA=IAB=BA=IAB=BA=I（III为n阶单位阵），则称BBB 为 AAA的逆矩阵，记为B=A−1B=A^{-1}B=A−1。

逆矩阵性质（AAA、BBB 均可逆）(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A(AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}(AT)−1=(A−1)T(λA)−1=1λA−1(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}(λA)−1=λ1​A−1（λ≠0\lambda \neq 0λ=0）(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1四、矩阵的秩对于一个S∗NS*NS∗N的矩阵：A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯as1as2⋯asn)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix}A=​a11​a21​⋯as1​​a12​a22​⋯as2​​⋯⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋯asn​​​

矩阵AAA的每一行可以看作一个NNN维向量：αi=(ai1,ai2,⋯ ,ain),i=1,2,⋯ ,s\alpha_i = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}),\quad i = 1,2,\cdots,sαi​=(ai1​,ai2​,⋯,ain​),i=1,2,⋯,sα1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_sα1​,α2​,⋯,αs​ 叫作AAA的行向量。

矩阵AAA的每一列可以看作一个SSS维向量：βj=(a1ja2j⋮asj),j=1,2,⋯ ,n\beta_j = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{sj} \end{pmatrix},\quad j = 1,2,\cdots,nβj​=​a1j​a2j​⋮asj​​​,j=1,2,⋯,nβ1,β2,⋯ ,βn\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_nβ1​,β2​,⋯,βn​ 叫作AAA的列向量。

4.1 秩的定义矩阵的秩是矩阵中最大线性无关向量组的向量个数，且矩阵的行秩=列秩（行秩：行向量组的最大线性无关向量个数；列秩：列向量组的最大线性无关向量个数）。

秩的计算示例设矩阵 AAA的行向量组为α1=(1,1,3,1)\alpha_{1}=(1,1,3,1)α1​=(1,1,3,1)，α2=(0,2,−1,4)\alpha_{2}=(0,2,-1,4)α2​=(0,2,−1,4)，α3=(0,0,0,5)\alpha_{3}=(0,0,0,5)α3​=(0,0,0,5)，α4=(0,0,0,0)\alpha_{4}=(0,0,0,0)α4​=(0,0,0,0)，对应的矩阵：A=(113102−1400050000)A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)A=​1000​1200​3−100​1450​​

求行向量组的极大线性无关组： 设 k1α1+k2α2+k3α3=0k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3}=0k1​α1​+k2​α2​+k3​α3​=0，得方程组：{k1=0k1+2k2=03k1−k2=0k1+4k2+5k3=0\begin{cases} k_{1}=0 \\ k_{1}+2 k_{2}=0 \\ 3 k_{1}-k_{2}=0 \\ k_{1}+4 k_{2}+5 k_{3}=0 \end{cases}⎩⎨⎧​k1​=0k1​+2k2​=03k1​−k2​=0k1​+4k2​+5k3​=0​ 解得 k1=k2=k3=0k_{1}=k_{2}=k_{3}=0k1​=k2​=k3​=0，故 α1,α2,α3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}α1​,α2​,α3​线性无关；又α4\alpha_{4}α4​为零向量（必线性相关），因此行向量组的秩为3。

求列向量组的秩：设列向量组为β1,β2,β3,β4\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}β1​,β2​,β3​,β4​，可验证 β3=72β1−12β2+0β4\beta_{3}=\frac{7}{2} \beta_{1}-\frac{1}{2} \beta_{2}+0 \beta_{4}β3​=27​β1​−21​β2​+0β4​（β3\beta_{3}β3​ 可由 β1,β2\beta_{1},\beta_{2}β1​,β2​线性表示），而β1,β2,β4\beta_{1},\beta_{2},\beta_{4}β1​,β2​,β4​线性无关，因此列向量组的秩为3。

4.2 秩的几何意义旋转矩阵 (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}(cosθsinθ​−sinθcosθ​)：变换后仍为二维图形，秩为2；

矩阵 (1−11−1)\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}(11​−1−1​)：变换后压缩为一维直线，秩为1。

4.3 秩的通俗理解若有 NNN张照片（对应矩阵的NNN个向量），但照片本质仅涵盖3个人的信息（独立信息），则矩阵的秩为3。

五、向量的内积、长度与正交5.1 向量内积内积定义设n维向量 x=(x1x2⋮xn)x=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)x=​x1​x2​⋮xn​​​，y=(y1y2⋮yn)y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right)y=​y1​y2​⋮yn​​​，则 xxx 与 yyy 的内积记为 [x,y][x,y][x,y]：[x,y]=x1y1+x2y2+⋯+xnyn=xTy[x,y]=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n}=x^{T}y[x,y]=x1​y1​+x2​y2​+⋯+xn​yn​=xTy

内积性质对称性：[x,y]=[y,x][x,y]=[y,x][x,y]=[y,x]线性性：[λx,y]=λ[x,y][\lambda x,y]=\lambda [x,y][λx,y]=λ[x,y]（λ\lambdaλ 为常数）可加性：[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x+y,z]=[x,z]+[y,z][x+y,z]=[x,z]+[y,z]5.2 向量的长度长度定义n维向量 xxx的长度（范数）记为∥x∥\|x\|∥x∥：∥x∥=[x,x]=x12+x22+⋯+xn2≥0\|x\|=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \geq 0∥x∥=[x,x]​=x12​+x22​+⋯+xn2​​≥0

特殊向量与长度性质单位向量：若 ∥x∥=1\|x\|=1∥x∥=1，则 xxx为单位向量；齐次性：∥λx∥=∣λ∣⋅∥x∥\|\lambda x\|=|\lambda| \cdot \|x\|∥λx∥=∣λ∣⋅∥x∥；三角不等式：∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。5.3 向量的正交正交定义若向量 xxx 与 yyy 的内积 [x,y]=0[x,y]=0[x,y]=0，则称 xxx 与 yyy 正交。正交向量组：两两正交的非零向量组成的向量组，且正交向量组必线性无关。

正交向量求解示例在 R3R^3R3 中，已知 α1=(111)\alpha_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}α1​=​111​​，α2=(1−21)\alpha_{2}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}α2​=​1−21​​正交，求非零向量α3\alpha_{3}α3​使三者两两正交。

设 α3=(x1,x2,x3)T\alpha_{3}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}α3​=(x1​,x2​,x3​)T，由正交条件得：[α1,α3]=α1Tα3=x1+x2+x3=0[\alpha_{1},\alpha_{3}]=\alpha_{1}^{T}\alpha_{3}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[α1​,α3​]=α1T​α3​=x1​+x2​+x3​=0[α2,α3]=α2Tα3=x1−2x2+x3=0[\alpha_{2},\alpha_{3}]=\alpha_{2}^{T}\alpha_{3}=x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0[α2​,α3​]=α2T​α3​=x1​−2x2​+x3​=0

转化为线性方程组：Ax=(1111−21)(x1x2x3)=(00)A x=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)Ax=(11​1−2​11​)​x1​x2​x3​​​=(00​)

初等行变换求解：(1111−21)∼r(1110−30)∼r(111010)∼r(101010)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \stackrel{r}{\sim}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)(11​1−2​11​)∼r(10​1−3​10​)∼r(10​11​10​)∼r(10​01​10​) 得 {x1=−x3x2=0\begin{cases}x_{1}=-x_{3} \\ x_{2}=0\end{cases}{x1​=−x3​x2​=0​，取 x3=1x_{3}=1x3​=1，则 α3=(−101)\alpha_{3}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}α3​=​−101​​。

六、规范正交基6.1 规范正交基定义设n维向量 e1,e2,⋯ ,ere_{1},e_{2},\cdots,e_{r}e1​,e2​,⋯,er​ 是向量空间 V⊂RnV \subset R^nV⊂Rn的基，若满足：

e1,e2,⋯ ,ere_{1},e_{2},\cdots,e_{r}e1​,e2​,⋯,er​是向量空间 VVV中的一个基；两两正交：[ei,ej]=0[e_{i},e_{j}]=0[ei​,ej​]=0（i≠ji \neq ji=j）；都是单位向量：∥ei∥=1\|e_{i}\|=1∥ei​∥=1（i=1,2,⋯ ,ri=1,2,\cdots,ri=1,2,⋯,r）；则称 e1,e2,⋯ ,ere_{1},e_{2},\cdots,e_{r}e1​,e2​,⋯,er​ 是 VVV 的规范正交基。

6.2 规范正交基示例R4R^4R4的标准规范正交基为：e1=(1000),e2=(0100),e3=(0010),e4=(0001)e_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\quad e_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\quad e_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\quad e_{4}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)e1​=​1000​​,e2​=​0100​​,e3​=​0010​​,e4​=​0001​​